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剖析雅各布.伯努利一影响深远的方法错误十一(1)错误应用连续计算类型一….进行所谓精确计算

来源：科普中国

剖析雅各布.伯努利一影响深远的方法错误

十一(1)错误应用连续计算类型一….进行所谓精确计算

出现这种类型错误应用的教材有很多，我们只讲两部。

我们将在第十一篇介绍八种类型的错误应用，这里讲的第一种类型开始曾涉及到，是本连续复利计算模型最简单的一种错误应用，只用小学数学知识就可理解这种错误，再整理在这里是为了把各种类型的错误应用放在一起，方便网友们有个全面的认识。

1982年中国人民大学出版社出版的《微积分》77页有习题19(见下面照片)，

这习题19是“已知职工人数的年增长率为v,原有职工人数为N。，试确定5年后职工人数的精确值。”

这题要求学生的解答是:职工人数的年增长率是v,一年计算一次，5年后职工人数是N。(1＋v)^5；一年中计算m次，每次计算的增长率为v/m,5年计算5m次，5年后职工人数就是N。(1＋v/m)^(5m)，再令m趋于无穷大，得5年后职工人数精确值为

N。e^(5v)。

这样求所谓精确值错得不可想象。

一 每一年分m次计算，每期计算的增长率按线性分法取为v/m道理何在?这是错误的关键。

二 错误理解了极限的功用，不是所有的地方求极限就得精确值。

2011年人民大学出版社出版的《微积分教程》中有例题8，见下面照片。

“例8 设今年我国国民生产总值为A。，又设年平均增长率为10% ，求10年后的国民生产总值A.

解 由于国民生产总值不是到年底才增长，而是每日每时增长的，因此有A=A。e^(rt)，本例中r=0.1，t=10，故A=A。e^(0.1x10)=A。e=2.718.3A。，

即10年后的国民生产总值为今年的2.718.3倍，若按公式A。(1＋r)^t计算，

则A=2.5937A。，这个结果不如上面的结果精确。”

这例题错在：

一 年增长率10%说的是一年中总的增长情况，包括一年中上半年增长很多下半年有下降的情况，包括上半年没有增长下半年才增长的情况，包括“到年底才增长”的情况，也包括“每日每时都在增长”的情况，解答这题根本不用考虑各个时刻具体的增长情况。

二 百度百科上给出的“年平均增长率”也是这个含义，这题正确答案精确答案都只能是A=2.5937A。

三 当然，我们可以赋予“增长率”这三个字另外的概念含义，给出另外的正确解答，但是，如这里给出习题19和例题8都没有给出“增长率”有其它含义的解释。“增长率”概念是人们生活中，人民日报上经常使用的概念，至今没有人、没有任何教材中对这概念能给出另外的含义。

无论怎么讲，这种连续计算的方法都是错了，我们这里列举了两例，如这习题19和例题8错误应用这种连续计算的教材还有很多，根源还是我们盲信雅各布.伯努利提出的连续复利法都到了不思考的程度，这就把本不糊涂的学生们教糊涂了。

关键词： 国民生产总值 方法错误 种类型的

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